Willson 定理

$p>1$ 是素数, 当且仅当 $(p-1)!=-1\bmod p$

$isPrime (x) = ⌊ \cos^{2} π \frac{(x - 1)! + 1}{x} ⌋ = {\begin{cases} 1, x \in P \cup {1} \\ 0, others \end{cases}$

$countPrime (n) = \sum_{x = 1}^{n} isPrime (x) - 1$

给定自然数 $n$ , 满足 $\pi(m) 的数的数量就是 $p_n -1$ .

$p_{n} = 1 + \sum_{m = 1}^{\infty} is [π (m) < n]$

接下来要用到一些素数密度的估计.

对于任意自然数 $n$ 和 $2n$ 之间至少有一个素数.

也就是说小于等于 $2^n$ 的素数至少有 $n$ 个.

于是我们可以把这个无穷大消掉了,

$$\mathtt{isLess}(x , y) = \left\lfloor \sqrt[ y ] {\frac {y} {1 + x}} \right\rfloor =\begin{cases} 1, x

$p_{n} = 1 + \sum_{m = 1}^{2^{n}} ⌊ \sqrt[n]{\frac{n}{1 + π (m)}} ⌋$